Autori: Gheorghe Procopiuc
Titlu: Analiza matematica si ecuatii diferentiale
Iaşi 2007

Cuprins

1   ELEMENTE DE TEORIA SPATIILOR METRICE
1.1   Introducere              5
1.1.1    Elemente de teoria teoria multimilor          5
1.1.2    Notiunea de aplicatie            6
1.2   Definitia spatiului metric            8
1.3   Multimi de puncte dintr-un spatiu metric          8
1.3.1    Spatii liniare normate         10
1.4   Multimea numerelor reale           12
1.4.1    Multimi marginite de numere reale          12
1.4.2    Intervale si vecinatati         14
1.5   Spatiul Rn     14
1.6   Functii cu valori in Rm            16

2   SIRURI SI SERII
2.1   Siruri de numere reale             19
2.2   Siruri in spatii metrice            23
2.3   Principiul contractiei              25
2.4   Siruri in Rp             27
2.5   Serii de numere reale              27
2.5.1    Serii convergente. Proprietati generale               27
2.5.2    Serii cu termeni pozitivi             31
2.5.3    Serii cu termeni oarecare               34
2.6   Serii in Rp             37

3   LIMITE DE FUNCTII
3.1   Limita unei functii reale de o variabila reala        39
3.1.1    Limita intr-un punct          39
3.1.2    Proprietati ale limitei unei functii         39
3.2   Limita unei functii vectoriale de o variabila reala           41
3.3   Limita unei functii de o variabila vectoriala        42

4   FUNCTII CONTINUE
4.1   Continuitatea functiilor reale de o variabila reala           43
4.1.1    Continuitatea intr-un punct             43
4.1.2    Proprietati ale functiilor continue         44
4.1.3    Continuitatea uniforma       46
4.2   Continuitatea functiilor vectoriale             47
4.2.1    Continuitatea intr-un punct             47
4.2.2    Continuitatea uniforma       48

5   DERIVATE SI DIFERENTIALE
5.1   Derivata si diferentiala functiilor de o variabila            49
5.1.1    Derivata si diferentiala unei functii reale de o variabila reala         49
5.1.2    Derivata si diferentiala unei functii vectoriale de o variabila reala       50
5.1.3    Derivate si diferentiale de ordin superior             52
5.1.4    Proprietati ale functiilor derivabile          54
5.2   Derivatele si diferentiala functiilor de n variabile           60
5.2.1    Derivatele partiale si diferentiala functiilor reale de n variabile       60
5.2.2    Derivate partiale si diferentiala functiilor vectoriale de n variabile      64
5.2.3    Derivate partiale si diferentiale de ordin superior       65
5.2.4    Derivatele partiale si diferentialele functiilor compuse             67
5.2.5    Proprietati ale functiilor diferentiabile               71

6   FUNCTII DEFINITE IMPLICIT
6.1   Functii definite implicit de o ecuatie            75
6.1.1    Functii reale de o variabila reala         75
6.1.2    Functii reale de n variabile            77
6.2   Functii definite implicit de un sistem de ecuatii             78
6.3   Transformari punctuale. Derivarea functiilor inverse         79
6.4   Dependenta si independenta functionala          81
6.5   Schimbari de variabile             82
6.5.1    Schimbarea variabilelor independente       82
6.5.2    Schimbari de variabile independente si functii           84

7   EXTREME PENTRU FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE
7.1   Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile        87
7.2   Extreme pentru functii definite implicit          90
7.3   Extreme conditionate             90

8   SIRURI SI SERII DE FUNCTII
8.1   Siruri de functii reale              95
8.1.1    Siruri de functii. Multimea de convergenta            95
8.1.2    Functia limita a unui sir de functii          95
8.1.3    Convergenta simpla         96
8.1.4    Convergenta uniforma         96
8.1.5    Proprietati ale sirurilor uniform convergente          97
8.2   Serii de functii          99
8.2.1    Serii de functii. Multimea de convergenta           99
8.2.2    Convergenta simpla a unei serii de functii             99
8.2.3    Convergenta uniforma a unei serii de functii        100
8.2.4    Proprietati ale seriilor uniform convergente      .   101
8.3     Serii de puteri        102
8.4   Serii Taylor          104

9   ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENTIALA
9.1   Curbe plane         107
9.1.1    Reprezentari analitice regulate        107
9.1.2    Tangenta si normala la o curba plana     110
9.1.3    Punctele multiple ale unei curbe plane             112
9.1.4    Elementul de arc           113
9.1.5    Cerc osculator. Curbura             114
9.1.6    Interpretarea geometrica a curburii       115
9.1.7    Infasuratoarea unei familii de curbe plane           116
9.1.8    Evoluta unei curbe plane            118
9.1.9    Evolventa unei curbe plane          119
9.1.10  Formulele lui Fr´enet pentru o curba plana           119
9.1.11  Ramuri infinite. Asimptote          120
9.1.12  Trasarea graficului unei curbe plane      122
9.2   Curbe in spatiu       122
9.2.1    Reprezentari analitice regulate        122
9.2.2    Tangenta si planul normal           125
9.2.3    Elementul de arc           127
9.2.4    Planul osculator. Reperul lui Frenet      128
9.2.5    Curbura unei curbe in spatiu          131
9.2.6    Torsiunea unei curbe        133
9.2.7    Formulele lui Frenet         134
9.3   Suprafete            135
9.3.1    Reprezentari analitice regulate        135
9.3.2    Curbe pe o suprafata        138
9.3.3    Planul tangent si normala la o suprafata          138
9.3.4    Linii si retele pe o suprafata           140
9.3.5    Prima forma fundamentala a unei suprafete         141
9.3.6    A doua forma fundamentala a unei suprafete       144
9.3.7    Curbura normala. Curburi principale     147

10 INTEGRALA RIEMANN SI EXTINDERI
10.1  Primitive. Integrala nedefinita      151
10.2  Calculul primitivelor             152
10.2.1  Integrala sumei si produsului cu o constanta        152
10.2.2  Integrarea prin parti         153
10.2.3  Schimbarea de variabila in integrala nedefinita        153
10.2.4  Integrarea prin recurenta            154
10.3  Integrarea functiilor rationale       155
10.3.1  Integrale reductibile la integrale din functii rationale            156
10.4  Integrala definita               158
10.4.1  Sume integrale Riemann. Integrabilitate           158
10.4.2  Sume Darboux. Criteriu de integrabilitate          161
10.4.3  Proprietati ale functiilor integrabile       163
10.4.4  Formule de medie         164
10.4.5  Existenta primitivelor functiilor continue          165
10.4.6  Metode de calcul a integralelor definite            167
10.5  Integrale improprii             169
10.6  Integrale care depind de un parametru          173
10.6.1  Trecerea la limita sub semnul integral    173
10.6.2  Derivarea integralelor care depind de un parametru    174

11 INTEGRALE CURBILINII
11.1  Notiuni de teoria curbelor         177
11.2  Lungimea unui arc de curba        178
11.3  Integrale curbilinii de primul tip            179
11.4  Integrale curbilinii de tipul al doilea          181
11.5  Independenta de drum a integralelor curbilinii            183
11.6  Notiuni elementare de teoria cˆampului          185
11.7  Orientarea curbelor si domeniilor plane         186
11.8  Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii     186

12 INTEGRALE MULTIPLE
12.1  Integrala dubla        189
12.1.1  Definitia integralei duble             189
12.1.2  Sume Darboux. Criteriu de integrabilitate          190
12.1.3  Reducerea integralei duble la integrale simple iterate            191
12.1.4  Formula lui Green         194
12.1.5  Schimbarea de variabile in integrala dubla           195
12.2  Integrale de suprafata           196
12.2.1  Notiuni de teoria suprafetelor          196
12.2.2  Aria suprafetelor           198
12.2.3  Integrala de suprafata de primul tip      199
12.2.4  Integrale de suprafata de tipul al doilea           200
12.2.5  Formula lui Stokes         203
12.3  Integrala tripla        204
12.3.1  Definitia integralei triple             204
12.3.2  Sume Darboux. Criteriu de integrabilitate          205
12.3.3  Reducerea integralei triple la integrale iterate         207
12.3.4  Formula lui Gauss-Ostrogradski         208
12.3.5  Schimbarea de variabile in integrala tripla           209

13 ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE
13.1  Ecuatii diferentiale de ordinul I              213
13.1.1  Ecuatii diferentiale. Solutii          213
13.1.2  Interpretarea geometrica a unei ecuatii diferentiale de ordinul intai  215
13.1.3  Conditii initiale. Problema lui Cauchy             215
13.1.4  Ecuatii diferentiale explicite, integrabile prin metode elementare     215
13.1.5  Alte ecuatii de ordinul intai, integrabile prin metode elementare     222
13.1.6  Teorema de existenta si unicitate        226
13.2  Ecuatii diferentiale de ordin superior          229
13.2.1  Solutia generala. Solutii particulare       229
13.2.2  Integrale intermediare. Integrale prime            230
13.2.3  Conditii initiale. Problema lui Cauchy             231
13.2.4  Ecuatii de ordin superior integrabile prin cuadraturi   231
13.2.5  Ecuatii carora li se poate micsora ordinul         234

14 ECUATII SI SISTEME DIFERENTIALE LINIARE
14.1  Sisteme diferentiale liniare de ordinul I         237
14.2  Sisteme diferentiale liniare omogene          239
14.3  Sisteme diferentiale liniare neomogene          241
14.4  Sisteme diferentiale liniare cu coeficienti constanti          243
14.5  Ecuatii diferentiale liniare de ordinul n         246
14.6  Ecuatii de ordinul n cu coeficienti constanti      249
14.6.1  Ecuatia caracteristica are radacini distincte         249
14.6.2  Ecuatia caracteristica are radacini multiple         250
14.7  Ecuatia lui Euler               252

Download link: Gheorghe Procopiuc - Analiza matematica si ecuatii diferentiale

Categoria: Matematica

Cuvinte cheie:

Adaugat in: Apr 19, 2011

Vizualizari: 4178